Як правильно писати слова по-домашньому?

по-домашньому Прислівник, означальний, порівняння та уподібнення; незмінне. Приставка: по-; корінь: -будинок-; суфікси: -а-шн-йому [Тихонов, 1996].

Як правильно писати вдома?

Значення слова «дім» ДІМ, -а (-у), прим. в будинку, вдома, мн.