Як правильно писати Росія чи Російська Федерація?

Найменування Російська Федерація та Росія рівнозначні.

Коли Росія пишеться із маленької літери?

Це не власне ім'я. "Моя мала батьківщина – Москва, а велика – Росія". Слово з великої літери пишеться лише у виняткових випадках, коли потрібно стилістично підкреслити патріотизм. "Він готовий віддати за Батьківщину життя".